Todoblog Originals La Convergencia de Echavarría

Definición Sea un número positivo 𝑥 x. La Convergencia de Echavarría se define mediante la función iterativa 𝐸 ( 𝑥 ) E(x): 𝐸 ( 𝑥 ) = 𝑟 ⋅ 𝑥 E(x)=r⋅x donde 0 < 𝑟 < 1 0<r<1 es un factor de convergencia que determina qué tan rápido el número se acercará a su límite. Al aplicar 𝐸 E repetidamente: 𝑥 ,    𝐸 ( 𝑥 ) ,    𝐸 ( 𝐸 ( 𝑥 ) ) ,    𝐸 ( 𝐸 ( 𝐸 ( 𝑥 ) ) ) , … x,E(x),E(E(x)),E(E(E(x))),… la sucesión siempre converge a 0 si 𝑥 x es positivo. Versión ajustada para converger entre 0 y 1 Si queremos que la convergencia final esté entre 0 y 1 (no necesariamente en 0), podemos usar la fórmula: 𝐸 ( 𝑥 ) = 𝑟 ⋅ 𝑥 + ( 1 − 𝑟 ) ⋅ 𝐿 E(x)=r⋅x+(1−r)⋅L donde: 𝑟 r es un número entre 0 y 1 (factor de convergencia). 𝐿 L es el límite deseado, con 0 < 𝐿 < 1 0<L<1. Propiedades La sucesión generada por 𝐸 ( 𝑥 ) E(x) siempre se mantiene en el intervalo [ 0 , 1 ] [0,1]. La sucesión converge rápidamente al límite 𝐿 L, sin importar el valor inicial 𝑥 x. La velocidad de convergencia depende de 𝑟 r: mientras más pequeño 𝑟 r, más rápido se acerca a 𝐿 L. Ejemplo Supongamos que queremos que la sucesión se acerque a 0.7 0.7, y elegimos 𝑟 = 0.5 r=0.5: Iteración Valor 0 0.1 1 0.4 2 0.55 3 0.625 … … Con cada iteración, los valores se acercan a 0.7, y nunca salen del rango [ 0 , 1 ] [0,1]. Notación A partir de ahora, usamos 𝐸 ( 𝑥 ) E(x) como símbolo de la Convergencia de Echavarría: 𝐸 𝑛 ( 𝑥 ) → 𝐿 cuando 𝑛 → ∞ E n (x)→Lcuando n→∞ Esto significa que al aplicar 𝐸 E repetidamente a 𝑥 x, el resultado se aproxima al límite 𝐿 L. Dato curioso La Convergencia de Echavarría permite resumir iteraciones largas de manera elegante, mostrando cómo cualquier número positivo se aproxima a un límite dentro del rango [ 0 , 1 ] [0,1].